La Transformée de Fourier Discrète au service de l’Homologie Persistante : applications à l’Analyse Musicale
Agrégée de mathématiques, Victoria Callet est, depuis 2020, doctorante à l'Institut de Recherche Mathématiques Avancées de Strasbourg, sous la direction de Pierre Guillot et Moreno Andreatta. Dans sa thèse, elle étudie certains liens qui relient la topologie algébrique et l’analyse musicale. Plus précisément, elle travaille sur l'analyse topologique des processus et structures musicaux via un outil de la théorie simpliciale appelé l'homologie persistante.
Victoria Callet est accueillie en décembre par l'équipe Représentations Musicales de l'Ircam-STMS (Ircam, Sorbonne Université, CNRS, ministère de la Culture). Les Mercredis de STMS l'ont invitée à présenter ses recherches.
Si vous n'avez pas pu assister à la présentation ou souhaitez la revoir, vous pourrez la retrouver sur https://youtu.be/AGNBWqHqBMs et sur https://medias.ircam.fr/xb7b504_la-transformee-de-fourier-discrete-au-serv
Résumé :
L’homologie persistante est un outil de la théorie simpliciale construit à la fin du XXème siècle. Il s’utilise notamment dans le domaine de l’Analyse Topologique de Données (TDA) et de la reconnaissance de forme : le principe est d’extraire un nuage de points d’un objet que l’on souhaite étudier, puis de transformer ce nuage en un complexe simplicial filtré en utilisant par exemple la méthode de Vietoris-Rips. En général, le choix de la distance entre les points est crucial, et c’est à cet endroit qu'est décidée l'intervention de la Transformée de Fourier Discrète (DFT).
Le but consiste alors à calculer l’homologie simpliciale d’un complexe filtré à chaque moment de la filtration, et de regarder les caractéristiques topologiques qui persistent au cours du temps. Cette approche permet d’encoder l’évolution topologique d’un objet à travers une seule structure algébrique.
Cet exposé a permis de redéfinir l’homologie persistante, de montrer comment cet outil permet de récupérer des informations topologiques présentes dans les partitions de musique ; notamment en en extrayant des nuages de points et en se servant de la DFT comme distance sur ces derniers.